Question

在平面直角坐標系中，A點坐標為（1，1），B點與A點關于坐標原點對稱，過動點P作x軸的垂線，垂足為C點，而點D滿足2

PD

=

PC

，且有

PA

•

PB

=2，
（1）求點D的軌跡方程；
（2）求△ABD面積的最大值；
（3）斜率為k的直線l被（1）中軌跡所截弦的中點為M，若∠AMB為直角，求k的取值范圍．

Answer 1

（1）設P（x'，y'），得

PA

=（1-x'，1-y'），

PB

=（-1-x'，-1-y'），
所以

PA

•

PB

=（1-x'）（-1-x'）+（1-y'）（-1-y'）=（x'）²+（y'）²-2
∵

PA

•

PB

=2，
∴點P的軌跡方程為（x'）²+（y'）²-2=2，即（x'）²+（y'）²=4…（*）
再設D（x'，y'），由2

PD

=

PC

得D為PC的中點
∴x=

1

2

(x′+1)，y'=

1

2

y′．
可得x'=2x-1，y'=2y．代入（*）式得（2x-1）²+（2y）²=4
化簡得點D的軌跡方程：（x-

1

2

）²+y²=1
（2）設點D坐標為（

1

2

+cosα，sinα），
求得直線AB的方程為x-y=0，得D到直線AB的距離為
d=

| 1 2 +cosα-sinα|

2

=

| 1 2 + 2 cos(α+ π 4 )|

2

當α=

7π

4

時，d的最大值為1+

2

2

，
因此△ABD面積的最大值為

1

2

×AB×（1+

2

2

）=1+

2

；
（3）若∠AMB為直角，則點M在以AB為直徑的圓上
求得以AB為直徑的圓方程為x²+y²=2，該圓與D的軌跡交于點M₁（

5

4

，

7

4

）和M₂（

5

4

，-

7

4

）
滿足條件的點M位于圓N：（x-

1

2

）²+y²=1在x²+y²=2內的劣弧上
∵KNM1=

7 4 -0

5 4 - 1 2

=

7

3

，得此時切線l的斜率k₁=

1

KNM1

=-

3 7

7

KNM2=

- 7 4 -0

5 4 - 1 2

=-

7

3

，得此時切線l的斜率k₂=

1

KNM2

=

3 7

7

∴運動點M，觀察斜率變化，可得直線l的斜率為k∈（-∞，-

3 7

7

）∪（

3 7

7

，+∞）