Question

（（本小題12分）如圖，在梯形中，，，四邊形為矩形，平面平面，.

（1）求證：平面；

（2）求二面角A-BF-C的平面角的余弦值；

（3）若點在線段上運動，設平面與平面所成二面角的平面角為，試求的取值范圍.

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：在梯形中， ∵ ,，

∠＝，∴     ∴

∴ ∴　⊥    

∵平面⊥平面,

平面∩平面,平面

∴  ⊥平面   

（2）取中點為，連結

 ∵  ,∴  ∴⊥ ∵　    ∴ ⊥  ∴  ∠=

 

∵  ⊥   ∴   ∴,

 ∴  

 

（3）由（2）知，①當與重合時，

②當與重合時，過,連結，則平面∩平面＝,∵  ⊥，又∵⊥∴  ⊥平面∴  ⊥平面

∴　∠＝  ∴　=,∴　=

③當與都不重合時，令

延長交的延長線于,連結

 ∴　在平面與平面的交線上

 ∵  在平面與平面的交線上

 ∴  平面∩平面＝

 過C作CH⊥NB交NB于H ，連結AH，

由（I）知，⊥, 又∵AC⊥CN,∴　AC⊥平面NCB

∴ AC⊥NB,　又∵　CH⊥NB，AC∩CH=C，∴　NB⊥平面ACH  ∴AH⊥NB     ∴  ∠AHC=

 在中，可求得NC＝，從而，在中，可求得CH＝

∵　∠ACH＝    ∴　　AH＝

∴     ∵   ∴  ， 綜上得。

 

【解析】略