Question

設(shè)雙曲線C:-y²=1(a＞0)與直線l:x+y=1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B.

(1)求雙曲線C的離心率e的取值范圍;

(2)設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P，且=,求a的值.

Answer 1

思路分析：向量與解析幾何的綜合，主要是通過向量的坐標(biāo)形式來體現(xiàn)的，在解題過程中，注意將這兩者進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)換，從而找到最佳解題途徑.

解：(1)由C與l相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，知方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解，消去y²并整理得(1-a²)x²+2a²x-2a²=0.                                                 ①

∴解得0＜a＜且a≠1.雙曲線的離心率e=,

∵0＜a＜且a≠1,∴e＞且e≠,即離心率e的取值范圍為(, )∪(,+∞).

（2）設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),P(0,1),∵=,∴(x₁,y₁-1)= (x₂,y₂-1).

由此得x₁=x₂,由于x₁、x₂都是方程①的根，且1-a²≠0,所以x₁+x₂=x₂=-,x₁x₂=x₂²=-.

消去x₂,得-=由a＞0,所以a=.

溫馨提示

    在解答直線與圓錐曲線問題時(shí),首先應(yīng)判斷斜率不存在時(shí)，是否滿足題意，然后再設(shè)直線方程.據(jù)條件合理利用“判別式”確定某些字母的取值范圍，注意它和函數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用以及向量的具體應(yīng)用.