Question

（2009江蘇卷）(本小題滿分16分)

按照某學者的理論，假設一個人生產某產品單件成本為元，如果他賣出該產品的單價為元，則他的滿意度為；如果他買進該產品的單價為元，則他的滿意度為.如果一個人對兩種交易(賣出或買進)的滿意度分別為和，則他對這兩種交易的綜合滿意度為.

現假設甲生產A、B兩種產品的單件成本分別為12元和5元，乙生產A、B兩種產品的單件成本分別為3元和20元，設產品A、B的單價分別為元和元，甲買進A與賣出B的綜合滿意度為，乙賣出A與買進B的綜合滿意度為

(1)求和關于、的表達式；當時，求證：=；

(2)設，當、分別為多少時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？

(3)記(2)中最大的綜合滿意度為，試問能否適當選取、的值，使得和同時成立，但等號不同時成立？試說明理由。

Answer 1

解析：本小題主要考查函數的概念、基本不等式等基礎知識，考查數學建模能力、抽象概括能力以及數學閱讀能力。滿分16分。

(1)

當時，,

,     =

（2）當時，

由，

故當即時，

甲乙兩人同時取到最大的綜合滿意度為。

（3）（方法一）由（2）知：=

由得：，

令則，即：。

同理，由得：

另一方面，

當且僅當，即=時，取等號。

所以不能否適當選取、的值，使得和同時成立，但等號不同時成立。