Question

已知二次函數f(x)＝x²－ax＋a(a>0，x∈R)有且只有一個零點，數列{a_n}的前n項和S_n＝f(n)(n∈N^*)．

(1)求數列{a_n}的通項公式；

(2)設c_n＝1－(n∈N^*)，定義所有滿足c_m·c_m＋1<0的正整數m的個數，稱為這個數列{c_n}的變號數，求數列{c_n}的變號數．

Answer 1

解：(1)依題意，Δ＝a²－4a＝0，∴a＝0或a＝4.

又由a>0得a＝4，

∴f(x)＝x²－4x＋4.

∴S_n＝n²－4n＋4.

當n＝1時，a₁＝S₁＝1－4＋4＝1；

當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝2n－5.

∴a_n＝

由1－＝可知，當n≥5時，

恒有a_n>0.

又c₁＝－3，c₂＝5，c₃＝－3，c₄＝－，c₅＝，

即c₁·c₂<0，c₂·c₃<0，c₄·c₅<0，

∴數列{c_n}的變號數為3.