Question

如圖已知拋物線的焦點坐標為，過的直線交拋物線于兩點，直線分別與直線：相交于兩點．

(1)求拋物線的方程；

(2)證明△ABO與△MNO的面積之比為定值．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）證明過程詳見解析.

【解析】

試題分析：本題主要考查拋物線、直線的方程，以及直線與拋物線的位置關(guān)系，突出解析幾何的基本思想和方法的考查：如數(shù)形結(jié)合思想、坐標化方法等.第一問，利用拋物線的標準方程，利用焦點坐標求出，代入即可；第二問，討論直線垂直和不垂直軸2種情況，當(dāng)直線垂直于軸時，2個三角形相似，面積比為定值，當(dāng)直線不垂直于軸時，設(shè)出直線的方程，設(shè)出四個點坐標，利用直線與拋物線相交列出方程組，消參得到方程，利用兩根之積得為定值，而面積比值與有關(guān)，所以也為定值.

試題解析：（1）由焦點坐標為  可知

所以,所以拋物線的方程為                      5分

（2）當(dāng)直線垂直于軸時，與相似，

所以,                        7分

當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)直線AB方程為,

設(shè)，，，，

解整理得，                      9分

所以,                                         10分

,

綜上                                12分

考點：1.拋物線的標準方程；2.直線方程；3.根與系數(shù)關(guān)系；4.三角形面積公式.