Question

設函數f（x）=2x²，g（x）=alnx（a∈R）
（1）設a=4e，證明：f（x）≥g（x）；
（2）令h（x）=

1

2

xf（x）-3x²g′（x），若h（x）在（-2，2）內的值域為閉區間，求實數a的取值范圍；
（3）求證：

ln24

24

+

ln34

34

+…+

lnn4

n4

＜

2

e

（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）若y=2x²-4elnx，若令y′＞0即可得到x＞

e

，故可得函數y=2x²-4elnx的單調區間，則y=2x²-4elnx在x=

e

時取得極小值也是最小值，且最小值為0，即得證；
（2）由于h（x）=x³-3ax，則h′（x）=3x²-3a，令h′（x）=0得到x=±

a

，由于h（x）在（-2，2）內的值域為閉區間，則

a

＜2，即得實數a的取值范圍；
（3）構造函數H（x）=

lnx

x2

，求導函數，確定函數的單調性與極值，即可不等式

lnx

x2

≤

1

2e

都成立，得到對x∈（0，+∞）此利用放縮法及裂項法，即可證得結論．

解答：解：（1）證明：由于函數f（x）=2x²，g（x）=4elnx，
則y=2x²-4elnx，y′=4x-

4e

x

（x＞0）
令y′＞0時，x＞

e

，
故函數y=2x²-4elnx在（

e

，+∞）上遞增；在（0，

e

）上遞減，
則y=2x²-4elnx在x=

e

時取得極小值也是最小值，且最小值為0，
故f（x）≥g（x）；
（2）解：由于h（x）=

1

2

xf（x）-3x²g′（x）=x³-3ax，
則h′（x）=3x²-3a，令h′（x）=0，解得x=±

a

，
由于h（x）在（-2，2）內的值域為閉區間，
則

a

＜2，即a＜4
故實數a的取值范圍是：a＜4；
（3）證明：設函數H（x）=

lnx

x2

，則H′（x）=

1-2lnx

x3

．
令H′（x）=0，得x=

e

．
當x∈（0，

e

）時，H′（x）＞0，故函數H（x）在（0，

e

）上遞增；
當x∈（

e

，+∞）時，H′（x）＜0，故函數H（x）在（

e

，+∞）上遞減；
所以H（x）≤H（

e

）=

ln( e )

( e )2

=

1

2e

，
對任意的x＞0，不等式

lnx

x2

≤

1

2e

都成立．
故有

lnx

x4

=

lnx

x2

•

1

x2

≤

1

2e

•

1

x2

．
當n=1時，結論顯然成立；
當n≥2時，有：

ln1

14

+

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

=
0+

ln2

22

•

1

22

+

ln3

32

•

1

32

+…+

lnn

n2

•

1

n2

≤

1

2e

（

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

）
＜

1

2e

（

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)•n

）
=

1

2e

[（

1

1

-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）]
=

1

2e

（

1

1

-

1

n

）＜

1

2e

．
則

ln24

24

+

ln34

34

+…+

lnn4

n4

＜

1

2e

×4=

2

e

，
綜上可知，對任意的n∈N^*，不等式

ln24

24

+

ln34

34

+…+

lnn4

n4

＜

2

e

成立．

點評：本題考查不等式的證明，考查構造函數，利用導函數研究函數的單調性與極值，解題的關鍵是構造函數、確定函數的單調性．