Question

（08年潮州市二模理）（14分）如圖,過拋物線的對稱軸上任一點(diǎn)作直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)．

 ⑴ 設(shè)點(diǎn)P滿足（為實(shí)數(shù)），證明：；

⑵ 設(shè)直線AB的方程是，過A、B兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線，求圓C的方程．

 

Answer 1

解析：解⑴．依題意,可設(shè)直線AB的方程為,代入拋物線方程，得：

         ①       ………………………………    ２分

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、，則是方程①的兩根，

所以，．　　……………………………………………………   ３分

由點(diǎn)P滿足（為實(shí)數(shù)，），得， 即．

又點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的以稱點(diǎn)，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)是，從而．

=

 =

 = =0     …………………………  6分

 所以，．   ………………………  7分

 ⑵．由得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是、．

由得，

所以，拋物線在點(diǎn)A處切線的斜率為．　……………  9分

 設(shè)圓C的方程是，  

 則            …………………  11分

  解得：．……………………  13分

 所以，圓C的方程是．     ……………  14分