Question

已知f(x)=ax³+bx²+cx+d(a≠0)是定義在R上的函數，其圖像交x軸于A、B、C三點．若點B的坐標為(2，0)，f(x)在[-2,0]和[4，6]上是單調的，且f(x)在[-2,0]和[4，6]上有相同的單調性，在[0，2]和[4，6]上有相反的單調性．

(Ⅰ)求c的值；

(Ⅱ)求|AC|的取值范圍．

Answer 1

解：(Ⅰ)f′(x)=3ax²+2bx+c

依題意f(x)在 [1，0]和[0，2]上有相反的單調性，

∴x=0是f(x)的一個極值點，故f′(0)=0，得c=0

(Ⅱ)因為f(x)交x軸于點B(2，0)

∴8a+4b+d=0，即d=-4(b+2a)

令f′(x)=0得3ax²+2bx=0，x₁=0，x₂=，

因為f(x)在[0，2]和[4，6]上有相反的單調性，

∴f′(x)在[0，2]和[4，6]上有相反的符號

故2≤≤4-6≤≤3

又f(x)=ax³+bx²-4(2a+b)

=a(x-2)

設A(α，0)，B(β，0)，

則

∴|AC|=|α-β|=

∵-6≤≤-3，∴當=-6時，|AC|_max=4；

當=-3時，|AC|_min=3，故3≤|AC|≤4．