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已知橢圓的中心為坐標原點，一個長軸端點為，短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，若直線與軸交于點，與橢圓交于不同的兩點，且。（14分）

(1)求橢圓的方程；

(2)求實數的取值范圍。

 

【答案】

（1）（2）-1<m<或<m<1

【解析】

試題分析：（1）∵一個長軸端點為，所以，且焦點在y軸上，

因為短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，所以，

又因為，所以，所以橢圓方程為.

（2）(1)當直線斜率不存在時，不符題意，斜率為0時顯然也不符題意；

設，

由，

∴，

設，，，

所以，，

所以，所以， 消去得，

又，∴，

∴， ∴<0， ∴-1<m<或<m<1.

考點：本小題主要考查直線與圓錐曲線的位置關系.

點評：求解直線與圓錐曲線的位置關系時，免不了要聯立直線方程和圓錐曲線方程，此時一般運算量比較大，綜合考查學生分析問題、解決問題的能力和運算求解能力.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，
OA
+
OB
與
a
=（3，-1）共線．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設M為橢圓上任意一點，且
OM
=λ
OA
+μ
OB
(λ，μ∈R)，證明λ2+μ2為定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標原點O，橢圓短半軸長為1，動點M（2，t）（t＞0）在直線x=
a2c
（a為長半軸，c為半焦距）上．
（1）求橢圓的標準方程
（2）求以OM為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2的圓的方程；
（3）設F是橢圓的右焦點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N，求證：線段ON的長為定值，并求出這個定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標原點，斜率為1且過橢圓右焦點F（2，0）的直線交橢圓于A，B兩點，
OA
+
OB
與
a
=(3，-1)共線，則該橢圓的長半軸長為
6
6
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標原點O，橢圓短半軸長為1，動點M（2，t）（t＞0）在直線x=
a2c
（a為長半軸，c為半焦距）上．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求以OM為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2的圓的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，
OA
+
OB
與
a
=(3，-1)共線，則該橢圓的離心率為（　　）
A、
5
3
B、
3
2
C、
6
3
D、
2
2
3

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