Question

已知兩個動點A，B和一個定點P(

3

，

3

2

)均在拋物線x²=2py上，設F為拋物線的焦點，Q為拋物線對稱軸上一點，若|

FA

| ， |

FP

| ， |

FB

|成等差數列，且(

QA

+

1

2

AB

)•

AB

=0（A，B與P不重合）．
（1）求證：線段AB的中點在直線y=

3

2

上；
（2）求點Q的縱坐標；
（3）求|

AB

|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由P(

3

，

3

2

)在拋物線x²=2py上，可求p，由|

FA

| ， |

FP

| ， |

FB

|成等差數列，可得2|

FP

|=|

FA

| + |

FB

|，利用坐標表示可證
（2）由(

QA

+

1

2

AB

)•

AB

=0，即

QM

•

AB

=0，利用坐標表示及點A，B滿足拋物線的方程聯立可求
（3）設M(x0，

3

2

)，則可得kAB=

y2-y1

x2-x1

=

x1+x2

2

=x0，從而有AB：y-

3

2

=x0(x-x0)，代入x²=2py，整理得x²-2x₀x+2x₀²-3=0，結合方程的性質及|

AB

|=

1+ x 2 0

|x2-x1|=

1+ x 2 0

12-4 x 2 0

=2

4-( x 2 0 -1)2

，可求

解答：解：（1）P(

3

，

3

2

)在拋物線x²=2py上，所以3=2p×

3

2

，所以p=1．
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），因為|

FA

| ， |

FP

| ， |

FB

|成等差數列，
所以2|

FP

|=|

FA

| + |

FB

|，所以2(

3

2

+

p

2

)=(y1+

p

2

)+(y2+

p

2

)，所以

y1+y2

2

=

3

2

，
即線段AB的中點在直線y=

3

2

上． …（2分）
（2）設AB的中點為M，則M(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)，(

QA

+

1

2

AB

)•

AB

=0，即

QM

•

AB

=0，(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

-yQ)•(x2-x1，y2-y1)=0，（x₁+x₂）（x₂-x₁）+（y₁+y₂-2y_Q）（y₂-y₁）
=0，x₂²-x₁²+（y₁+y₂-2y_Q）（y₂-y₁）=0，…（4分）
又x₁²=2y₁，x₂²=2y₂，所以2（y₂-y₁）+（y₁+y₂-2y_Q）（y₂-y₁）=0，
依題意，y₁≠y₂，所以y₁+y₂-2y_Q+2=0，yQ=

y1+y2

2

+1=

5

2

．…（6分）
（3）設M(x0，

3

2

)，kAB=

y2-y1

x2-x1

=

x1+x2

2

=x0，所以AB：y-

3

2

=x0(x-x0)，
代入x²=2py，得x²-2x₀x+2x₀²-3=0…（*）
由△＞0，得12-4x₀²＞0，即x₀²＜3，注意到A、B與P不重合，
所以0＜x₀²＜3，…（8分）
|

AB

|=

1+ x 2 0

|x2-x1|=

1+ x 2 0

12-4 x 2 0

=2

4-( x 2 0 -1)2

，
結合0＜x₀²＜3，|

AB

|∈(0，4]．即|

AB

|的取值范圍為（0，4]．…（10分）

點評：本題主要考查了；利用拋物線的性質求解拋物線的方程，解決（1）的關鍵是根據拋物線的定義寫出FA，FB，FP，而處理直線與曲線的位置關系的問題時．在聯立方程后，要主要對方程判別式的限制條件的考慮