Question

已知函數，其中常數a > 0．
(1) 當a = 4時，證明函數f(x)在上是減函數；
(2) 求函數f(x)的最小值．

Answer 1

解：(1) 當時，，利用“定義法”證明。
(2)

試題分析：
思路分析：(1) 當時，，利用“定義法”證明。執行“設、算、證、結”。
(2)應用均值定理及“對號函數”的單調性，分，即和，即兩種情況討論得到：。
解：(1) 當時，，
任取0<x₁<x₂≤2，則f(x₁)–f(x₂)=
因為0<x₁<x₂≤2，所以f(x₁)–f(x₂)>0，即f(x₁)>f(x₂)
所以函數f(x)在上是減函數；
(2)，當且僅當時等號成立，
當，即時，的最小值為，
當，即時，在上單調遞減，
所以當時，取得最小值為，
綜上所述：
點評：中檔題，本題綜合性較強，研究函數的單調性，可以利用導數，也可以利用常見函數的單調性。應用均值定理，要注意“一正，二定，三相等”。