Question

已知拋物線y²=2x．
（1）在拋物線上任取二點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），經過線段P₁P₂的中點作直線平行于拋物線的軸，和拋物線交于點P₃，證明△P₁P₂P₃的面積為

1

16

|y1-y2|3；
（2）經過線段P₁P₃、P₂P₃的中點分別作直線平行于拋物線的軸，與拋物線依次交于Q₁、Q₂，試將△P₁P₃Q₁與△P₂P₃Q₂的面積和用y₁，y₂表示出來；
（3）仿照（2）又可做出四個更小的三角形，如此繼續下去可以做一系列的三角形，由此設法求出線段P₁P₂與拋物線所圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析：（1）根據P₁和P₂的坐標可表示出P₁P₂的中點的坐標，進而求得P₃的橫坐標和縱坐標．代入△P₁P₂P₃的面積表達式，化簡整理即可．
（2）根據P₁和P₃的坐標可表示出P₁P₃的中點的坐標，可求出點Q₁的橫、縱坐標和點Q₂的橫、縱坐標，再由行列式求面積的方法求出面積．
（3）根據線段P₁P₂與拋物線所圍成的圖形的面積等于S△p1p2p3 +（S△P1 Q2P3+s△p3Q2p2 ）可得到答案．

解答：解：（1）∵P₁的坐標為（x₁，y₁），P₂的坐標為（x₂，y₂），
∴P₁P₂的中點為M1(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)
點P₃的橫坐標x=

y2

2

=

(y1+y2)2

8

，縱坐標y=

y1+y2

2

△P₁P₂P₃的面積=

1

2

.

x1 y1 1 x2 y2 1 (y1+y2)2 8 y1+y2 2 1

.

的絕對值
=

1

2

|x1y2-x2y1+

x2-x1

2

(y1+y2)+

y1-y2

8

(y1+y2)2|
=

1

2

|

y12y2

2

-

y1y22

2

+

y22-y12

2

(y1+y2)+

y1-y2

8

(y1+y2)2|
=

1

16

|y1-y2|•|4y1y2-2(y1+y2)2+(y1+y2)2|
=

1

16

|y1-y2|•|-(y1-y2)2|
=

1

16

|y1 -y2|3．

（2）∵P₁的坐標為（x₁，y₁），
P₃的坐標為(

(y1+y2)2

8

，

y1+y2

2

)，
∴P₁P₃的中點為M2(

5y12+2y1y2+y22

16

，

3y1+y2

4

)，
點Q₁的橫坐標x=

y2

2

=

(3y1+y2)2

32

，縱坐標y=

3y1+y2

4

.
同理，點Q₂的橫坐標x=

(y1+3y2)2

32

，縱坐標y=

y1+3y2

4

.
△P₁P₃Q₁的面積+△P₂P₃Q₂的面積
=

1

2

.

x1 y1 1 (3y1+y2)2 32 3y1+y2 4 1 (y1+y2)2 8 y1+y2 2 1

.

的絕對值+

1

2

.

(y1+y2)2 8 y1+y2 2 1 (y1+3y2)2 32 y1+3y2 4 1 x2 y2 1

.

的絕對值
=

1

16

|y22[2(y1+y2)-(3y1+y2)]+

(y1+y2)(3y1+y2)

8

[2(y1+y2)-(3y1+y2)]+

y2

4

[(3y1+y2)2-4(y1+y2)2]|+

1

16

|y22[2(y1+y2)-(y1+3y2)]+

(y1+y2)(y1+3y2)

8

[2(y1+y2)-(y1+3y2)]+

y2

4

[(y1+3y2)2-4(y1+y2)2]|
=

1

128

|y2-y1|•|(y1-y2)2|+

1

128

|y1-y₂|•|（y₂-y₁）²|
=

1

64

|y1-y2|3．

（3）線段P₁P₂與拋物線所圍成的圖形的面積
S=S△p1p2p3 +（S△P1 Q2P3+s△p3Q2p2 ）
=

1

16

|y1-y2|3+

1

64

|y1-y2|3+

1

256

|y1-y2|3
=

1 16 |y1-y2|3

1- 1 4

=

1

12

|y1-y2|3．

點評：本題主要考查拋物線的基本性質和用行列式的方法求面積．考查計算能力和綜合運用能力．