Question

138、設函數f（x）是R上的偶函數，對于任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），且f（2）=3，則f（2006）+f（2007）=

3

．

Answer 1

分析：本題求的是一個抽象函數的函數值，我們要根據已知條件，湊出函數的某些特殊函數值，觀察到函數f（x）是R上的偶函數，對于任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），易想到f（-3）與f（3）可能是解決問題的突破口．

解答：解：由f（x+6）=f（x）+f（3）
令x=-3，則有f（-3+6）=f（-3）+f（3）
即f（3）=f（-3）+f（3）
所以f（-3）=0
由已知f（x）是R上的偶函數
所以f（3）=f（-3）=0
所以f（x+6）=f（x）+f（3）=f（x）
所以T=6
f（2006）+f（2007）=f（2）+f（3）=3
故答案為：3

點評：對于抽象函數的函數值的求法，我們不可能求出函數的解析式，然后采用代入求值的辦法處理，故我們要根據已知的條件，湊出一些特殊點的函數值，借此分析函數的性質，本題中由于所求的是f（2006）+f（2007）故我們要探究的關鍵是函數的周期性．