Question

已知函數(shù)f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函數(shù)．

(1)求k的值；

(2)設(shè)g(x)＝log4，若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）k＝－.（2）{－3}∪(1，＋∞)．

【解析】(1)由函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，可知f(x)＝f(－x)，

∴log4(4x＋1)＋kx＝log4(4－x＋1)－kx.

log4＝－2kx，即x＝－2kx對(duì)一切x∈R恒成立，∴k＝－.

(2)函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，即方程log4(4x＋1)－x＝log4有且只有一個(gè)實(shí)根，化簡(jiǎn)得方程2x＋＝a·2x－a有且只有一個(gè)實(shí)根．令t＝2x>0，則方程(a－1)t2－at－1＝0有且只有一個(gè)正根．

①a＝1?t＝－，不合題意；②a≠1時(shí)，Δ＝0?a＝或－3.若a＝?t＝－2，不合題意，若a＝－3?t＝；③a≠1時(shí)，Δ>0，一個(gè)正根與一個(gè)負(fù)根，即<0?a>1.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{－3}∪(1，＋∞)．