Question

要將甲、乙兩種長短不同的鋼管截成A、B、C三種規格，每根鋼管可同時截得三種規格的短鋼管的根數如下表所示：

今需A、B、C三種規格的鋼管各13、16、18根，問各截這兩種鋼管多少根可得所需三種規格鋼管，且使所用鋼管根數最少.

Answer 1

解:設需截甲種鋼管x根，乙種鋼管y根，則

作出可行域(如下圖)；

目標函數為z=x＋y.

作出一組平行直線x＋y=t中(t為參數)經過可行域內的點且和原點距離最近的直線，此直線經過直線4x＋y=18和直線x＋3y=16的交點A(，)，直線方程為x＋y=.由于和都不是整數，所以可行域內的點(，)不是最優解.

經過可行域內的整點且與原點距離最近的直線是x＋y=8，經過的整點是B(4，4)，它是最優解.

答:要截得所需三種規格的鋼管，且使所截兩種鋼管的根數最少，方法是截甲種鋼管、乙種鋼管各4根.

點評:此例的解法是，先依條件列出不等式組，作出可行域，不考慮x、y為非負整數的條件，求出符合題中其他條件的最優解，然后看此最優解是否為非負整數解，若是非負整數解，則即為所求.若不是非負整數解，則應求出經過可行域內的非負整數解且與原點距離最遠(或最近)的點的直線，點(4,4)也是可行域內與過點(, )、斜率為－1的直線距離最近的點，這個非負整數解就是最優解.