Question

已知函數.
（1）若，求證：當時，；
（2）若在區間上單調遞增，試求的取值范圍；
（3）求證：.

Answer 1

（1） 詳見解析；（2） 的取值范圍；（3）詳見解析．

試題分析：（1） 當時，求證：當時，，將代入，得，注意到，只要證明當時，單調遞增，則，由于中含有指數函數，可對求導得，只需證明當時，即可，注意到，只要證明當時，單調遞增即可，因此令，對求導得，顯然當時，，問題得證；（2） 求實數的取值范圍，由于在區間上單調遞增，則當時，，故對求導得，即當時，恒成立，即)恒成立，只需求出的最小值即可，令，對求導得，令導數等于零，解出的值，從而的最小值，進而得實數的取值范圍；
（3）求證：，由（1） 知：當時，，即，可得，兩邊取對數得，令，得，再令，得個式子相加，然后利用放縮法可證得結論．
試題解析：（1） ，則h(x)＝，∴h′(x)＝e^x－1＞0(x＞0)，
∴h(x)＝f′(x)在(0，＋∞)上遞增，∴f′(x)＞f′(0)＝1＞0，
∴f(x)＝e^x－x²在(0，＋∞)上單調遞增，故f(x)＞f(0)＝1.(     4分)
（2） f′(x)＝e^x－2kx，下面求使 (x＞0)恒成立的k的取值范圍．
若k≤0，顯然f′(x)＞0，f(x)在區間(0，＋∞)上單調遞增；
記φ(x)＝e^x－2kx，則φ′(x)＝e^x－2k，
當0＜k＜時，∵e^x＞e⁰＝1， 2k＜1，∴φ′ (x)＞0，則φ(x)在(0，＋∞)上單調遞增，
于是f′(x)＝φ(x)＞φ(0)＝1＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上單調遞增；
當k≥時，φ(x)＝e^x－2kx在(0，ln 2k)上單調遞減，在(ln 2k，＋∞)上單調遞增，
于是f′(x)＝φ(x)≥φ(ln 2k)＝e^{ln 2k}－2kln 2k，
由e^{ln 2k}－2kln 2k≥0得2k－2kln 2k≥0，則≤k≤，
綜上，k的取值范圍為(－∞，]．      9分
另解：（2） ，下面求使(x＞0)恒成立的k的取值范圍．
)恒成立。記

在上單調遞減，在上單調遞增。
  
綜上，k的取值范圍為(－∞，]．(    9分)
（3）由(1)知，對于x∈(0，＋∞)，有f(x)＝e^x＞x²＋1，∴e^2x＞2x²＋1，
則ln(2x²＋1)＜2x，從而有ln(＋1)＜ (n∈N^*)，
于是ln(＋1)＋ln(＋1)＋ln(＋1)＋ ＋ln(＋1)＜＋＋ ＋＜＋＋ ＋＝2＋2(1－＋ ＋－)＝4－＜4，故(＋1)(＋1)(＋1) (＋1)＜e⁴.(     14分)
另解：(3)由(1)知，對于x∈(0，＋∞)，有f(x)＝e^x＞x²＋1，∴e^2x＞2x²＋1，
則ln(2x²＋1)＜2x，從而有ln(＋1)＜ (n∈N^*)，
又


于是ln(＋1)＋ln (＋1)＋ln(＋1)＋ ＋ln(＋1)＜
故(＋1)(＋1)(＋1) (＋1)＜e⁴.    (     14分)