Question

（理）已知等差數列的公差是，是該數列的前項和.
（1）試用表示，其中、均為正整數；
（2）利用（1）的結論求解：“已知，求”；
（3）若數列前項的和分別為，試將問題（1）推廣，探究相應的結論. 若能證明，則給出你的證明并求解以下給出的問題；若無法證明，則請利用你的研究結論和另一種方法計算以下給出的問題，從而對你猜想的可靠性作出自己的評價.問題：“已知等差數列的前項和，前項和，求數列的前2010項的和.”

Answer 1

解析（1）解：不妨設，則有


，
∴ .
（2）（文科）解法一：由條件，可得
得：，由（1）中結論得：
。
解法二：，則
。
（理）由條件，可得
得：
，
則.
（3）（理科）推廣的結論為：若公差為的等差數列的前項和為，
則該數列的前項和為：
+                    
…………（）
對正整數，可用數學歸納法證明如下：
1當時，由問題（1）知，等式（）成立；
2假設當時結論成立，即

，
當時，




，
這表明對等式（）也成立；
根據1、2知，對一切正整數，（）式都成立.
利用以上結論，問題解法如下：
由，
則利用探究結論可得：.
不利用以上結論，解法如下：
由
得：；
代入①可得.
所以，.