Question

（2012•唐山二模）選修4-4：坐標系與參數方程
極坐標系的極點為直角坐標系xOy的原點，極軸為z軸的正半軸，兩種坐標系的長度單位相同，己知圓C₁的極坐標方程為p=4（cosθ+sinθ，P是C₁上一動點，點Q在射線OP上且滿足OQ=

1

2

OP，點Q的軌跡為C₂．
（I）求曲線C₂的極坐標方程，并化為直角坐標方程；
（ II）已知直線l的參數方程為

x=2+tcosφ y=tsinφ

（t為參數，0≤φ＜π），l與曲線C₂有且只有一個公共點，求φ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設點P、Q的極坐標分別為（ρ₀，θ）、（ρ，θ），則極坐標方程，ρ=

1

2

ρ₀=

1

2

•4（cosθ+sinθ）=2（cosθ+sinθ），利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，得出直線直角坐標方程．
（Ⅱ）將l的代入曲線C₂的直角坐標方程，得出（tcosφ+1）²+（tsinφ-1）²=2，即t²+2（cosφ-sinφ）t=0，φ的值應使得關于t的方程有兩相等實根．

解答：解：（Ⅰ）設點P、Q的極坐標分別為（ρ₀，θ）、（ρ，θ），則
ρ=

1

2

ρ₀=

1

2

•4（cosθ+sinθ）=2（cosθ+sinθ），
點Q軌跡C₂的極坐標方程為ρ=2（cosθ+sinθ），…（3分）
兩邊同乘以ρ，得ρ²=2（ρcosθ+ρsinθ），
C₂的直角坐標方程為x²+y²=2x+2y，即（x-1）²+（y-1）²=2．…（5分）
（Ⅱ）將l的代入曲線C₂的直角坐標方程，得
（tcosφ+1）²+（tsinφ-1）²=2，即t²+2（cosφ-sinφ）t=0，…（7分）
t₁=0，t₂=sinφ-cosφ，
由直線l與曲線C₂有且只有一個公共點，得sinφ-cosφ=0，
因為0≤φ＜π，所以φ=

π

4

．…（10分）

點評：本題考查了極坐標方程、直角坐標方程的轉化，參數方程中參數的意義，考查了方程思想．