Question

如圖,點A、B分別是橢圓=1長軸的左、右端點,點F是橢圓的右焦點,點P在橢圓上,且位于x軸上方,PA⊥PF.

(1)求點P的坐標;

(2)設M是橢圓長軸AB上的一點,M到直線AP的距離等于|MB|,求橢圓上的點到點M的距離d的最小值.

Answer 1

1、P(,).

2、d_最小=.

解析:

(1)由條件A(-6,0),F(4,0).

設P(x,y).

∴=(x+6,y),=(x-4,y).

∵⊥,

∴0=(x+6)(x-4)+y²,即x²+2x-24+y²=0.                                           ①

結合+=1,                                                              ②

解得x=或-6,代入①解得y=±或0.

∴P(,±).

又點P在z軸上方,∴所求P(,).

(2)由兩點式得直線AP:x-y+6=0.

(不妨取x軸上方的P點)

設M(m,0),|MB|=6-m.

由題意6-m=,解得m=2或18(舍去).

∴M(2,0).

設橢圓上任一點P(x,y),

d²=MP²=(x-2)²+y²=(x-2)²+20-x²

=x²-4x+24=(x-)²+15.

∵-6≤x≤6,取x=得

d_最小²=15.此時d_最小=.