Question

定義在R上的奇函數f（x）滿足：當x＞0時，f（x）=2010^x+log₂₀₁₀x，則方程f（x）=0的實根的個數為

3

．

Answer 1

分析：根據f（x）是R上的奇函數，則f（0）=0，當x＞0時，函數f₁（x）=2010^x，f₂（x）=-log₂₀₁₀x的圖象有一個交點，方程f（x）=0有唯一實數根，由奇函數的性質知，當x＜0時，
也有唯一一個根使得f（x）=0，從而得到結論．

解答：解：當x＞0時，令f（x）=0得，即2010^x=-log₂₀₁₀x，
在同一坐標系下分別畫出函數f₁（x）=2010^x，f₂（x）=-log₂₀₁₀x的圖象，
如右圖，可知兩個圖象只有一個交點，即方程f（x）=0只有一個實根，
∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴當x＜0時，方程f（x）=0也有一個實根，
又∵f（0）=0，
∴方程f（x）=0的實根的個數為3．
故答案為 3．

點評：本題主要考查函數的奇偶性，函數的零點與方程的根的關系，體現了轉化、數形結合的數學思想，屬于中檔題．