Question

已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別是BB₁和BC的中點，AB=4，AD=2，BB1=2

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，求異面直線B₁D與MN所成角的余弦值．

Answer 1

分析：連結B₁C，利用三角形中位線的性質得到MN∥B₁C，然后通過解直角三角形求出三角形DB₁C的三邊，最后利用余弦定理求異面直線B₁D與MN所成角的余弦值．

解答：解：如圖：
連結B₁C，因為M，N分別為BB₁和BC的中點，所以MN∥B₁C，
則∠DB₁C為異面直線B₁D與MN所成角．
在直角三角形B₁C₁C中，B1C=

B1C12+CC12

=

22+(2 15 )2

=8．
連結BD，則BD=

42+22

=2

5

，在直角三角形B₁BD中，B1D=

BD2+BB12

=

(2 5 )2+(2 15 )2

=4

5

．
在三角形DB₁C中，cos∠DB1C=

B1D2+B1C2-DC2

2B1D•B1C

=

(4 5 )2+82-42

2×4 5 ×8

=

2 5

5

．
所以異面直線B₁D與MN所成角的余弦值為

2 5

5

．

點評：本題考查空間點、線、面的位置關系及學生的空間想象能力、求異面直線角的能力．在立體幾何中找平行線是解決問題的一個重要技巧，這個技巧就是通過三角形的中位線找平行線，如果試題的已知中涉及到多個中點，則找中點是出現平行線的關鍵技巧．