Question

已知函數f(x)的圖象可由函數g(x)=(m為非零常數)的圖象向右平移兩個單位而得到.

(1)寫出函數f(x)的解析式；

(2)證明函數f(x)的圖象關于直線y=x對稱；

(3)當x∈M時，函數f(x)的最大值為2+m²,最小值為2-，試確定集合M，并說明理由.

Answer 1

(1)解：f(x)=g(x-2)=2+.

(2)證明：為了證明函數f(x)的圖象關于直線y=x對稱，只要證明f^-1(x)=f(x)即可.

由y=2+可解得x=2+.交換字母x、y即得f^-1(x)=2+.

∴f^-1(x)=f(x)，即f(x)的圖象關于直線y=x對稱.

(3)解：f(x)=2+的圖象可看作是由關于原點對稱的函數p(x)=的圖象向右平移兩個單位再向上平移兩個單位而得到的，如下圖所示.

    故f(x)在(-∞,2)上單調遞減且無最小值，在(2,+∞)上也是單調遞減且無最大值，為使f(x)在集合M上有最大值和最小值，集合M一定是(-∞,x₁)∪［x₂,+∞］的形式，其中x₁＜2,x₂＞2.

    由

    解得x₁=-,x₂=.∴M={x|x≤-或x≥}.