Question

（2008•如東縣三模）在（2x-3y）¹⁰的展開式中，求：
（1）二項式系數的和；
（2）各項系數的和；
（3）奇數項的二項式系數和
（4）奇數項系數和
（5）x的奇次項系數和．

Answer 1

分析：（1）根據二項式系數的定義可得二項式系數和為

C

0 10

+

C

1 10

+…

C

10 10

，運算求得結果．
（2）令x=y=1，可得各項系數和．
（3）奇數項的二項式系數和為

C

0 10

+

C

2 10

+…

C

10 10

，偶數項的二項式系數和為

C

1 10

+

C

3 10

+…

C

9 10

．
（4）在二項式展開式中，令x=y=1，得a₀+a₁+…+a₁₀=1，令x=1，y=-1，得a₀-a₁+…+a₁₀=5¹⁰，
兩式相加除以2求得奇數項系數和．
（5）由（4）可得x的奇次項的系數為a₁+a₃+…+a₉的值．

解答：解：（1）二項式系數和為

C

0 10

+

C

1 10

+…

C

10 10

=2¹⁰．
（2）令x=y=1，各項系數和為（2-3）¹⁰=（-1）¹⁰=1．
（3）奇數項的二項式系數和為

C

0 10

+

C

2 10

+…

C

10 10

=2⁹，偶數項的二項式系數和為

C

1 10

+

C

3 10

+…

C

9 10

=2⁹．
（4）設（2x-3y）¹⁰=a0x10+a1x9y+…+a10y10，令x=y=1，得a₀+a₁+…+a₁₀=1，
令x=1，y=-1，得a₀-a₁+…+a₁₀=5¹⁰，兩式相加可得a₀+a₂+…+a₁₀=

1+510

2

，a₁+a₃+…+a₉=

1-510

2

，
故奇數項系數和為

1+510

2

．
（5）由（4）可得x的奇次項的系數為a₁+a₃+…+a₉=

1-510

2

點評：本題主要考查二項式定理的應用，注意根據題意，分析所給代數式的特點，通過給二項式的x賦值，求展開
式的系數和，可以簡便的求出答案，屬于中檔題．