Question

如下圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直（圖1），圖2為該四棱錐的主視圖和側(cè)視圖，它們是腰長為6cm的全等的等腰直角三角形．
（Ⅰ）根據(jù)圖2所給的主視圖、側(cè)視圖畫出相應(yīng)的俯視圖，并求出該俯視圖所在的平面
圖形的面積．
（Ⅱ）圖3中，E為棱PB上的點，F(xiàn)為底面對角線AC上的點，且

BE

EP

=

CF

FA

，求證：EF∥平面PDA．

Answer 1

分析：根據(jù)圖形可很容易畫出俯視圖．第二問要求證線面平行，先證線線平行再證線面平行（注意輔助線的利用）．

解答：解：（Ⅰ）（1）該四棱錐相應(yīng)的俯視圖為內(nèi)含對角線、邊長為6cm的正方形如圖；（2分）
（4分）
其面積為6×6=36（cm²）．（6分）
（Ⅱ）在三角形PAB中，過E作EG∥PA，EG交AB于G，連接FG．（7分）
依題意：BE：EP=BG：GA=CF：FA故在三角形BCA中，F(xiàn)G∥BC，
在正方形ABCD中，AD∥BC，所以FG∥AD．（8分）
又FG?平面PDA，所以，F(xiàn)G∥平面PDA，（10分）
同理EG∥平面PDA．（11分）
由FG與EG相交，得平面EFG∥平面PDA，（12分）
又EF在平面EFG內(nèi)，所以直線EF與平面PDA沒有公共點
所以EF∥平面PDA．（13分）

點評：本題考查學(xué)生的空間想象能力，以及線線、線面之間關(guān)系的證明，是中檔題．