Question

已知

a

=(sin(

π

6

-2x)，-1)，

b

=(3，-2)，且函數f(x)=

a

•

b

，
（1）求f（x）的增區間；  
（2）求f（x）在區間[-

π

12

，

π

2

]上的最大、最小值及相應的x值；
（3）求函數f（x）的圖象關于直線x=π對稱圖象的對稱中心和對稱軸方程．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積直接求出函數的表達式，通過正弦函數的單調增區間，求f（x）的增區間；  
（2）當x∈[-

π

12

，

π

2

]上時，求出2x-

π

6

的范圍，然后求出函數的最大、最小值及相應的x值；
（3）求函數f（x）的圖象關于直線x=π對稱的函數的解析式，然后求出的對稱中心和對稱軸方程．

解答：解：（1）因為

a

=(sin(

π

6

-2x)，-1)，

b

=(3，-2)，
所以函數f(x)=

a

•

b

=3sin（

π

6

-2x）+2=-3sin（2x-

π

6

）+2，
 因為 2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
解得

1

3

π+kπ≤x≤

5

6

π+kπ，(k∈Z)
函數的單調增區間為：[

1

3

π+kπ，

5

6

π+kπ]，(k∈Z)，…（4分）
（2）因為x∈[-

π

12

，

π

2

]，所以當2x-

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，當x=-

π

12

，ymax=

3

2

3

+2，
x=

π

3

，ymin=-1，…（8分）
（3）因為函數f（x）=-3sin（2x-

π

6

）+2，
所以函數f（x）的圖象關于直線x=π對稱的解析式為：f（x）=-3sin[2（2π-x）-

π

6

]+2=3sin（2x+

π

6

），
當x=-

π

12

+

k

2

π，函數值為：2，所以函數的對稱中心(-

π

12

+

k

2

π，2)，(k∈Z)，
當x=

π

6

+

k

2

π，(k∈Z)時函數取得最值，所以對稱軸x=

π

6

+

k

2

π，(k∈Z)…（13分）

點評：本題考查向量的數量積，三角函數的基本性質，兩角和與差的三角函數，考查計算能力．