Question

有以下五個(gè)命題①y=sin2x+

9

sin2x

的最小值是6．②已知f(x)=

x- 11

x- 10

，則f（4）＜f（3）．③函數(shù)f（x）值域?yàn)椋?∞，0]，等價(jià)于f（x）≤0恒成立．④函數(shù)y=

1

x-1

在定義域上單調(diào)遞減．⑤若函數(shù)y=f（x）的值域是[1，3]，則函數(shù)F（x）=1-f（x+3）的值域是[-5，-3]．其中真命題是：

③

．

Answer 1

分析：①利用均值不等式進(jìn)行放縮，注意取等號的條件；
②對f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）的增減性，從而進(jìn)行判斷；
③根據(jù)函數(shù)值域的定義進(jìn)行判斷；
④可以類比于反比例函數(shù)，對其進(jìn)行判斷；
⑤本題只是自變量x發(fā)生了變化，函數(shù)值y并未隨之發(fā)生變化，可知f（x）與f（x+3）的值域一樣，利用此信息進(jìn)行求解；

解答：解：①∵y=sin2x+

9

sin2x

≥2

9

=6，當(dāng)sin2x=

9

sin2x

時(shí)等號成立，即sin²x=3，∵sin²x≤1，取不到等號，所以函數(shù)y的最小值取不到6，故①錯(cuò)誤；
②f(x)=

x- 11

x- 10

對其進(jìn)行求導(dǎo)可得：f′（x）=

11 - 10

(x- 10 )2

＞0，在（-∞，

10

），（

10

，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（3）＜f（4），故②錯(cuò)誤；
③函數(shù)f（x）值域?yàn)椋?∞，0]，可以說明f（x）≤0，故③正確；
④函數(shù)y=

1

x-1

在定義域?yàn)閧x|x≠1}，在（-∞，1）和（1，+∞）上是減函數(shù)，
不能說在整個(gè)定義域上為減函數(shù)，故④錯(cuò)誤；
⑤函數(shù)y=f（x）的值域是[1，3]，可得y=f（x+3）的定義域?yàn)閇1，3]，
∴-2≤1-f（x+3）≤0，∴函數(shù)F（x）=1-f（x+3）的值域是[-2，0]，故⑤錯(cuò)誤；
∴③正確；
故答案為：③；

點(diǎn)評：注意函數(shù)圖象左右平移只是改變；自變量x的取值，函數(shù)的值域并不改變，此題主要考查均值不等式的利用以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查的知識點(diǎn)比較多，是一道綜合題；