Question

已知等差數列{a_n}和等比數列{b_n}的首項分別為1，2，等差數列的公差為1，等比數列的公比為2：
（1）求{a_n}，{b_n}的通項；
（2）若c_n=a_nb_n求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

解：（1）∵等差數列{a_n}的首項a₁=1，公差d=1，
所以a_n=1+（n-1）×1=n，
∵等比數列{b_n}的首項b₁=2，公比q=2，
b_n=2×2^n-1=2ⁿ．
（2）∵a_n=n，，c_n=a_nb_n，
c_n=n•2ⁿ，
∴S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
∴2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=-n•2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．
分析：（1）mh 等差數列{a_n}的首項a₁=1，公差d=1，知a_n=n，由等比數列{b_n}的首項b₁=2，公比q=2，知b_n=2ⁿ．
（2）由a_n=n，，c_n=a_nb_n，c_n=n•2ⁿ，知S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，利用錯位相減法能夠求出S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．
點評：本題考查等差數列、等比數列的基本量、通項，結合含兩個變量的不等式的處理問題，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．解題時要認真審題，仔細解答