Question

（本小題滿分14分）

在平面直角坐標系內已知兩點A(-1,0)、B(1,0),若將動點P(x,y)的橫坐標保持不變，縱坐標擴大到原來的倍后得到點Q(x,y),且滿足·=1.

(1)求動點P所在曲線C的方程；

(2)過點B作斜率為-的直線L交曲線C于M、N兩點，且++=，試求△MNH的面積.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ) + y²=1 ；(Ⅱ) S=

【解析】本試題主要考查了橢圓方程的求解，以及直線與橢圓方程的位置關系的綜合運用。

（1）利用橢圓的性質得到關于a,b,c的關系式，然后求解得到曲線的方程的求解。

（2）因直線L過點B，且斜率為k=-，故有L∶y=-（x-1）然后與橢圓的方程聯立，結合韋達定理和向量的關系式得到坐標關系式，從而結合點到直線的距離的公式，得到三角形面積的求解。

（Ⅰ)設點P的坐標為（x,y）,則點Q的坐標為（x,y）.   

依據題意，有=(x+1,y), =(x-1,y).              ……2分

∵·=1，∴x²-1+2 y²=1.∴動點P所在曲線C的方程是+ y²=1      …4分

(Ⅱ)因直線L過點B，且斜率為k=-，故有L∶y=-（x-1）.……5分

聯立方程組，消去y,得2x²-2x-1=0.          ………7分

設M（x₁,y₁）、N（x₂,y₂），可得，于是.  …………8分

又++=，得=（- x₁- x₂，- y₁- y₂），即H（-1，-）………9分

∴|MN|==   …………11分

(另外求出兩個點M、N的坐標也可)

又L: x+2y-=0，則H到直線L的距離為d=     …13分

故所求△MNH的面積為S=    ………………14分