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已知向量
a
=（2sinx，cosx），
b
=（cosx，2cosx），函數f（x）=
a
•
b
．
（1）求函數f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求函數f（x）在區間[
π
4
，
3π
4
]上的最大值和最小值．
分析：（1）根據平面向量數量積的坐標運算公式，結合輔助角公式化簡可得f（x）=
2
sin（2x+
π
4
）+1，結合正弦函數的圖象與性質，即可得到求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）因為x∈[
π
4
，
3π
4
]，所以2x+
π
4
∈[
3π
4
，
7π
4
]，再根據正弦函數的單調性即可得到函數f（x）的最大值和最小值．
解答：解：（1）∵向量
a
=（2sinx，cosx），
b
=（cosx，2cosx），
∴f（x）=
a
•
b
=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=
2
sin（2x+
π
4
）+1
由此可得：函數的最小正周期是
2π
2
=π，最大值是
2
+1；
（2）∵x∈[
π
4
，
3π
4
]，∴
3π
4
≤2x+
π
4
≤
7π
4

結合正弦函數的圖象，可得sin（2x+
π
4
）∈[-1，
2
2
]
∴f（x）=
2
sin（2x+
π
4
）+1的最大值為f（
π
4
）=2，
最小值是為f（
5π
8
）=1-
2
．
點評：本題以向量的數量積運算為載體，求函數的單調增區間與最值，著重考查了三角恒等變換、三角函數的圖象與性質等知識，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（2sinx，cosx），
b
=（
3
cosx，2cosx），定義函數f（x）=
a
•
b
-1．
（1）求函數f（x）的最小正周期及對稱中心；
（2）當x∈[-
7π
12
，
5π
12
]時，求函數f（x）的單調增區間．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（2sinx，
3
cosx），
b
=（sinx，2sinx），函數f（x）=
a
•
b
．
（Ⅰ）求f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥m對x∈[0，
π
2
]都成立，求實數m的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2005•東城區一模）已知向量
a
=（2sinx，cosx），
b
=（
3
cosx，2cosx），定義函數f（x）=
a
•
b
-1．求：
（Ⅰ）函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）函數f（x）的單調減區間．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（2sinx，
3
cosx），
b
=（sinx，2sinx），函數f（x）=
a
•
b

（1）求f（x）的單調遞增區間；
（2）求函數f（x）在區間[0，
π
2
]上的值域．

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