Question

（本小題滿分12分）已知頂點在坐標原點，焦點在軸正半軸的拋物線上有一點，點到拋物線焦點的距離為1.（1）求該拋物線的方程；（2）設(shè)為拋物線上的一個定點，過作拋物線的兩條互相垂直的弦,,求證：恒過定點.（3）直線與拋物線交于,兩點，在拋物線上是否存在點，使得△為以為斜邊的直角三角形.

Answer 1

（1）. （2）見解析；（3）

(1)設(shè)拋物線的方程為,則此準線方程為,根據(jù)拋物線的定義可知,從而可知p=1，所以拋物線方程為.

(2) 由題意知直線與軸不平行，設(shè)所在直線方程為得顯然P、Q的縱坐標就是此方程的兩個根，然后再由韋達定理可知 根據(jù)進而得到 所以 展開整理將韋達定理代入即可得到直線的方程為據(jù)此可判定直線PQ一定過定點.
(3)在（2）的基礎(chǔ)上可知若存在N點,則點必在直線上，所以，因而點N是直線與拋物線的交點，然后消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)判別式判斷此方程組是否有解即可.
（1）由題意可設(shè)拋物線的方程為，則由拋物線的定義可得，即，所以拋物線的方程為 .     ……4分
（2）由題意知直線與軸不平行，設(shè)所在直線方程為得
其中
 
即 所以


所以直線的方程為
即 
（3）假設(shè)
（上，
的解，消去得