Question

對于區間[a，b]（a＜b），若函數y=f（x）同時滿足：①f（x）在[a，b]上是單調函數；②函數y=f（x），x∈[a，b]的值域是[a，b]，則稱區間[a，b]為函數f（x）的“保值”區間．
（1）求函數y=x²的所有“保值”區間；
（2）函數y=x²+m（m≠0）是否存在“保值”區間？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）因為函數y=x²的值域是[0，+∞），且y=x²在[a，b]的值域是[a，b]，
所以[a，b]⊆[0，+∞），所以a≥0，從而函數y=x²在區間[a，b]上單調遞增，
故有

a2=a b2=b.

解得

a=0，或 a=1 b=0，或 b=1.

又a＜b，所以

a=0 b=1.

所以函數y=x²的“保值”區間為[0，1]．…（3分）
（2）若函數y=x²+m（m≠0）存在“保值”區間，則有：
①若a＜b≤0，此時函數y=x²+m在區間[a，b]上單調遞減，
所以 

a2+m=b b2+m=a.

消去m得a²-b²=b-a，整理得（a-b）（a+b+1）=0．
因為a＜b，所以a+b+1=0，即 a=-b-1．又

b≤0 -b-1＜b

所以 -

1

2

＜b≤0．
因為 m=-b2+a=-b2-b-1=-(b+

1

2

)2-

3

4

(-

1

2

＜b≤0)，所以 -1≤m＜-

3

4

．…（6分）
②若b＞a≥0，此時函數y=x²+m在區間[a，b]上單調遞增，
所以 

a2+m=a b2+m=b.

消去m得a²-b²=a-b，整理得（a-b）（a+b-1）=0．
因為a＜b，所以 a+b-1=0，即 b=1-a．又

a≥0 a＜1-a

所以 0≤a＜

1

2

．
因為 m=-a2+a=-(a-

1

2

)2+

1

4

(0≤a＜

1

2

)，所以 0≤m＜

1

4

．
因為 m≠0，所以 0＜m＜

1

4

．…（9分）
綜合 ①、②得，函數y=x²+m（m≠0）存在“保值”區間，此時m的取值范圍是[-1， -

3

4

)∪(0， 

1

4

)．…（10分）