Question

下面四個圖案，都是由小正三角形構成，設第個圖形中有個正三角形中所有小正三角形邊上黑點的總數為.

圖1         圖2            圖3                 圖4
（Ⅰ）求出,,,;
（Ⅱ）找出與的關系，并求出的表達式；
（Ⅲ）求證：().

Answer 1

（Ⅰ）12,27,48,75. （Ⅱ）， ．（Ⅲ）詳見解析．

試題分析：（Ⅰ）求出,,,，第二個圖形的黑點個數為第一個圖形的黑點個數加上外面的三角形上的黑點個數，即，第三個圖形的黑點個數為第二個圖形的黑點個數加上外面的三角形上的黑點個數，即，以此類推可求出,；（Ⅱ）觀察,,,可得到，后一個圖形的黑點個數是前一個圖形外多加一個三角形，而且每一條邊都比內一個三角形多兩個黑點，即，即，求出的表達式，像這種關系可用疊加法，即寫出，
，，，，把這個式子疊加，即可得出的表達式；（Ⅲ）求證：()， 先求出的關系式，得，由于求證的不等式右邊是常數，可考慮利用放縮法，即，這樣既可證明．
試題解析：（Ⅰ）由題意有，，  ， ，
，．
（Ⅱ）由題意及（Ⅰ）知，，
即，所以，，，，          5分
將上面個式子相加，得：
                 6分
又，所以．                    7分
（Ⅲ），∴．  9分
當時，，原不等式成立．        10分
當時，，原不等式成立．   11分
當時，



， 原不等式成立．                 13分
綜上所述，對于任意，原不等式成立．         14分