Question

一個直角三角形三邊的長成等比數列，則（　　）

A．三邊邊長之比為3：4：5	B．三邊邊長之比為1： 3 ：3
C．較小銳角的正弦為 5 -1 2	D．較大銳角的正弦為 5 -1 2

Answer 1

設直角三角形較短的直角邊為a（a＞0），公比為q，
由題意得：其它兩邊分別為aq，aq²，
根據勾股定理得：a²+（aq）²=（aq²）²，
整理得：q⁴-q²-1=0，
解得：q²=

1+ 5

2

或q²=

1- 5

2

（舍去），
則q²的值為

1+ 5

2

，
∴三邊長之比為a：aq：aq²=1：q：q²=1：

1+ 5 2

：

1+ 5

2

，
故選項A和B錯誤；
設最小內角為α，
根據正弦定理得：

a

sinα

=

aq2

sin π 2

，即sinα=

1

q2

=

1

1+ 5 2

=

5 -1

2

，
則較小銳角的正弦值為

5 -1

2

，故選項C正確，
又最大角為直角，其正弦值為1，故選項D錯誤，
故選C