Question

已知定義在R上的函數f（x）=x²+ax+b其函數圖象經過原點，且對任意的實數x都有f（1+x）=f（1-x）成立．
（Ⅰ）求實數 a，b的值；
（Ⅱ）若函數g（x）是定義在R上的奇函數，且滿足當x≥0時，g（x）=f（x），則求g（x）的解析式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數過原點，則得b=0，由有f（1+x）=f（1-x）可得函數關于x=1對稱，然后可求實數 a，b的值；
（Ⅱ）利用函數是奇函數，可求函數g（x）的解析式．

解答：解：（Ⅰ）∵函數經過原點，∴b=0（2分）
又因為對任意的實數x都有f（1+x）=f（1-x）成立．
∴f（x）的對稱軸為x=1（4分）
所以-

a

2

=1，解得a=-2        （6分）
（Ⅱ）當x≥0時，g（x）=x²-2x，
當x＜0時，-x＞0，
g（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x

∵g(x)為奇函數∴g(-x)=-g(x) ∴g(x)=-x2-2x

（10分）
g(x)=

x2-2x -x2-2x

，

(x≥0) (x＜0)

（12分）

點評：本題考查函數解析式的求法，以及利用函數的奇偶性求函數的解析式，利用函數奇偶性的對稱性進行轉化即可．