Question

甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別是和。假設兩人射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響；每次射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響。
（Ⅰ）求甲射擊4次，至少1次未擊中目標的概率；
（Ⅱ）求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標3次的概率；
（Ⅲ）假設兩人連續兩次未擊中目標，則停止射擊。問：乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是多少？

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

本題是一道概率綜合運用問題，第一問中求“至少有一次末擊中問題”可從反面求其概率問題；第二問中先求出甲恰有兩次末擊中目標的概率，乙恰有3次末擊中目標的概率，再利用獨立事件發生的概率公式求解.第三問設出相關事件，利用獨立事件發生的概率公式求解，并注意利用對立、互斥事件發生的概率公式.
（Ⅰ）記“甲連續射擊4次，至少1次未擊中目標”為事件A₁，
由題意，射擊4次，相當于4次獨立重復試驗，
故P（A₁）="1-" P（）=1-=。
答：甲射擊4次，至少1次未擊中目標的概率為；……4分
(Ⅱ) 記“甲射擊4次，恰好擊中目標2次”為事件A₂，
“乙射擊4次，恰好擊中目標3次”為事件B₂，則
，
，
由于甲、乙射擊相互獨立，
故。
、答：兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標3次的概率為；…………8分
（Ⅲ）記“乙恰好射擊5次后，被中止射擊”為事件A₃，
“乙第i次射擊未擊中” 為事件D_i，（i=1，2，3，4，5），則A₃=D₅D₄，且P（D_i）=，由于各事件相互獨立，故P（A₃）= P（D₅）P（D₄）P（）
=×××（1-×）=，
答：乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是。…………12分
或者：分類處理
1. 前三次都擊中目標，第四、五次連續兩次都未擊中目標
2. 第一次未擊中目標，第二、三次擊中，
3. 第一次擊中，第二次未擊中，第三次擊中，
點評：本題主要考查相互獨立事件同時發生或互斥事件發生的概率的計算方法，考查運用概率知識解決實際問題的能力.