Question

已知f(x)=loga

1-x

1+x

(a＞0，且a≠1)
（1）求f(

1

2012

)+f(-

1

2012

)的值；
（2）當x∈（-t，t]（其中t∈（-1，1），且t為常數）時，f（x）是否存在最小值，如果存在求出最小值；如果不存在，請說明理由；
（3）當f（x-2）+f（4-3x）≥0時，求滿足不等式f（x-2）+f（4-3x）≥0的x的范圍．

Answer 1

（1）令

1-x

1+x

＞0，解得-1＜x＜1，即函數f（x）的定義域為（-1，1），關于原點對稱．
又f（-x）=loga

1+x

1-x

=loga(

1-x

1+x

)-1=-loga

1-x

1+x

=-f（x），
所以f（x）為奇函數，
所以f(

1

2012

)+f(-

1

2012

)=f(

1

2012

)-f(

1

2012

)=0．
（2）設-1＜x₁＜x₂＜1，
則

1-x1

1+x1

-

1-x2

1+x2

=

2(x2-x1)

(1+x1)(1+x2)

．
因為-1＜x₁＜x₂＜1，
所以

1-x1

1+x1

-

1-x2

1+x2

＞0，即

1-x1

1+x1

＞

1-x2

1+x2

．
所以

1-x

1+x

在（-1，1）上為減函數，也在（-t，t]上為減函數，
①當a＞1時，y=log_at單調遞增，t=

1-x

1+x

單調遞減，所以y=loga

1-x

1+x

在（-t，t]上單調遞減，
此時f（x）存在最小值為f（t）=loga

1-t

1+t

．
②當0＜a＜1時，y=log_at單調遞減，t=

1-x

1+x

單調遞減，所以y=loga

1-x

1+x

在（-t，t]上單調遞增，
此時f（x）不存在最小值．
綜①②知，當a＞1時，f（x）存在最小值為f（t）=loga

1-t

1+t

．
（3）f（x-2）+f（4-3x）≥0可化為f（x-2）≥-f（4-3x），
由（1）知f（x）為奇函數，所以f（x-2）≥f（3x-4），
①當a＞1時，由（2）知f（x）在（-1，1）上為減函數，
所以

x-2≤3x-4 -1＜x-2＜1 -1＜3x-4＜1

，解得1＜x＜

5

3

．
②當0＜a＜1時，由（2）知f（x）在（-1，1）上為增函數，
所以

x-2≥3x-4 -1＜x-2＜1 -1＜3x-4＜1

，解得為∅．
綜①②得滿足不等式f（x-2）+f（4-3x）≥0的x的范圍為：（1，

5

3

）．