Question

（2013•懷化二模）已知f(x)=2ax-

b

x

+lnx在x=1與x=

1

2

處都取得極值．
（Ⅰ） 求a，b的值；
（Ⅱ）設函數g（x）=x²-2mx+m，若對任意的x1∈[

1

2

，2]，總存在x2∈[

1

2

，2]，使得、g（x₁）≥f（x₂）-lnx₂，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導數f′（x），由f（x）在x=1與x=

1

2

處都取得極值，得f'（1）=0，f′(

1

2

)=0，得關于a，b的方程組，解出a，b，然后檢驗；
（Ⅱ）對任意的x1∈[

1

2

，2]，總存在x2∈[

1

2

，2]，使得g（x₁）≥f（x₂）-lnx₂，等價于g（x）_min≥[f（x）-lnx]_min，利用函數單調性易求[f（x）-lnx]_min，按照對稱軸在區間[

1

2

，2]的左側、內部、右側三種情況進行討論可求得g（x）_min，然后解不等式g（x）_min≥[f（x）-lnx]_min可得答案；

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=2ax-

b

x

+lnx，   ∴f′(x)=2a+

b

x2

+

1

x

，
∵f(x)=2ax-

b

x

+lnx在x=1與x=

1

2

處都取得極值，
∴f'（1）=0，f′(

1

2

)=0，∴

2a+b+1=0 2a+4b+2=0

，解得a=b=-

1

3

，
當a=b=-

1

3

時，f′(x)=-

2

3

-

1

3x2

+

1

x

=

-2(x-1)(x- 1 2 )

3x2

，
所以函數f（x）在x=1與x=

1

2

處都取得極值．
∴a=b=-

1

3

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：函數y=f(x)-lnx=-

2

3

x+

1

3x

在[

1

2

，2]上遞減，
∴[f（x）-g（x）]_min=-

2

3

×2+

1

3×2

=-

7

6

，
又函數g（x）=x²-2mx+m圖象的對稱軸是x=m，
（1）當m＜

1

2

時：g(x)min=g(

1

2

)=

1

4

，依題意有 

1

4

≥-

7

6

成立，∴m＜

1

2

；
（2）當

1

2

≤m≤2時：g(x)min=g(m)=m-m2，
∴m-m2≥-

7

6

，即6m²-6m-7≤0，解得：

3- 51

6

≤m≤

3+ 51

6

，
又∵

1

2

≤m≤2，∴

1

2

≤m≤

3+ 51

6

；
（3）當m＞2時，g（x）_min=g（2）=4-3m，∴4-3m≥-

7

6

，解得m≤

31

18

，
又 m＞2，∴m∈?；
綜上：m≤

3+ 51

6

，
所以，實數m的取值范圍為(-∞，

3+ 51

6

]．

點評：本題考查利用導數研究函數的極值、閉區間上函數的最值，考查恒成立問題的解決，考查分類討論思想、轉化思想．