Question

已知向量

a

=(2sinx，cosx)，

b

=(

3

cosx，2cosx)，定義函數f(x)=

a

•

b

-1
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調減區間；
（Ⅲ）在答卷的坐標系中畫出函數g(x)=f(x)，x∈[-

π

12

，

11π

12

]的簡圖，并由圖象寫出g（x）的對稱軸和對稱中心．

Answer 1

分析：直接利用向量的數量積求出函數的表達式，通過二倍角公式與兩角和的正弦函數化簡函數的表達式，
（Ⅰ）直接利用正弦函數的周期求解函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）利用正弦函數的單調增區間，求出函數f（x）的單調減區間；
（Ⅲ）利用五點法畫出函數g(x)=f(x)，x∈[-

π

12

，

11π

12

]的簡圖，并由圖象寫出g（x）的對稱軸和對稱中心．

解答：解：因為向量

a

=(2sinx，cosx)，

b

=(

3

cosx，2cosx)，
函數f(x)=

a

•

b

-1=2cos²x+2

3

sinxcosx-1=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）．
（Ⅰ）函數f（x）的最小正周期為

2π

2

=π；
（Ⅱ）令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z，
從而可得函數的單調減區間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z．
（Ⅲ）函數g(x)=f(x)，x∈[-

π

12

，

11π

12

]的圖象如圖所示，
從圖象上可以直觀看出，此函數沒有對稱軸，有一個對稱中心．
∴對稱中心是（

5π

12

，0）…（14分）

點評：本題考查向量的數量積，二倍角公式兩角和的正弦函數，三角函數的基本性質，三角函數的公式比較多，平時一定要加強記憶，到運用時方能做到游刃有余，考查計算能力．