Question

已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，若(a₂－1)³＋2 012·(a₂－1)＝1，(a_{2 011}－1)³＋2 012(a_{2 011}－1)＝－1，則下列四個命題中真命題的序號為________．
①S_{2 011}＝2 011；②S_{2 012}＝2 012；③a_{2 011}＜a₂；④S_{2 011}＜S₂.

Answer 1

②③

該題通過條件(a₂－1)³＋2 012(a₂－1)＝1，(a_{2 011}－1)³＋2 012(a_{2 011}－1)＝－1，考查函數與方程的思想，由于函數f(x)＝x³＋x是奇函數，由條件有f(a₂－1)＝1，f(a_{2 011}－1)＝－1.另外，f′(x)＝3x²＋1＞0，所以，f(x)是單調遞增的，而f(1)＝2＞1＝f(a₂－1)，∴a₂－1＜1，a₂＜2，所以，a₂－1＝－(a_{2 011}－1)，∴a₂＋a_{2 011}＝2，且a₂－1＞a_{2 011}－1，∴a₂＞0＞a_{2 011}；又由等差數列{a_n}考查等差數列概念與通項公式，由此可得S_{2 012}＝×2 012＝2 012，d＜0，∴S_{2 011}＝S_{2 012}－a_{2 012}＝2 012－(2－a₂＋d)＝2 010＋a₁＞a₁＋a₂＝S₂.