Question

已知橢圓E經過點A(2，3)，對稱軸為坐標軸，焦點F₁，F₂在x軸上，離心率e=，
(Ⅰ)求橢圓E的方程；
(Ⅱ)求∠F₁AF₂的角平分線所在直線l的方程；
(Ⅲ)在橢圓E上是否存在關于直線l對稱的相異兩點？若存在，請找出；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)設橢圓E的方程為，
由，即，a=2c，得b²=a²-c²=3c²，
∴橢圓方程具有形式，
將A(2，3)代入上式，得解得c=2，
∴橢圓E的方程為。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知F₁(-2，0)，F₂(2，0)，
所以直線AF₁的方程為，即3x-4y+6=0，
直線AF₂的方程為x=2，
由點A在橢圓E上的位置知，直線l的斜率為正數，
設P(x，y)為l上任一點，則，
若3x-4y+6=5x-10，得x+2y-8=0(因其斜率為負，舍去)，
于是，由3x-4y+6=-5x+10得2x-y-1=0，
所以直線l的方程為2x-y-1=0．
(Ⅲ)假設存在這樣的兩個不同的點B(x₁，y₁)和C(x2，y2)，
，
∴，
設BC的中點為M(x₀，y₀)，則，
由于M在l上，故2x₀-y₀-1=0， ①
又B，C在橢圓上，所以有與，
兩式相減，得，
即，
將該式寫為，
并將直線BC的斜率k_BC和線段BC的中點表示代入該表達式中，
得，即3x₀-2y₀=0， ②
①×2-②得x₀=2，y₀=3，
即BC的中點為點A，而這是不可能的，
∴不存在滿足題設條件的點B和C。