Question

已知直角△ABC的三邊長a，b，c，滿足a≤b＜c
（1）在a，b之間插入2011個數，使這2013個數構成以a為首項的等差數列{a_n }，且它們的和為2013，求c的最小值；
（2）已知a，b，c均為正整數，且a，b，c成等差數列，將滿足條件的三角形的面積從小到大排成一列S₁，S₂，S₃，…S_n，且，求滿足不等式的所有n的值；
（3）已知a，b，c成等比數列，若數列{X_n}滿足（n∈N⁺），證明：數列{ }中的任意連續三項為邊長均可以構成直角三角形，且X_n是正整數．

Answer 1

（1）解：{a_n}是等差數列，∴，即a+b=2．
所以=，
所以c的最小值為；
（2）解：設a，b，c的公差為d（d∈Z），則a²+（a+d）²=（a+2d）²
∴a=3d．
設三角形的三邊長為3d，4d，5d，面積，則，
T_2n=-S₁+S₂-S₃+…+S_2n
=6[-1²+2²-3²+4²-…+（2n）²]
=6（1+2+3+4+…+2n）=12n²+6n．
由得，
當n≥5時，＞，
經檢驗當n=2，3，4時，，當n=1時，．
綜上所述，滿足不等式的所有n的值為2、3、4．
（3）證明：因為a，b，c成等比數列，∴b²=ac．
由于a，b，c為直角三角形的三邊長，知a²+ac=c²，∴，
又，得，
于是
=．
∴X_n+X_n+1=X_n+2，則有．
故數列{}中的任意連續三項為邊長均可以構成直角三角形．
因為
，
，
?，
由X_n+X_n+1=X_n+2，同理可得，?X_n+2∈N^*，
故對于任意的n∈N^*都有X_n是正整數．
分析：（1）由等差數列的前2013項的和求出a+b的值，利用勾股定理寫出c²=a²+b²，然后利用基本不等式求c的最小值；
（2）設出三角形三邊的公差，由勾股定理求得三邊與公差的關系，把面積用公差表示，則S_n可求，把S_n代入
T_2n=-S₁+S₂-S₃+…+S_2n后，先裂項后利用等差數列求和公式求和，得到T_n后結合二項展開式的系數和取值驗證求得滿足不等式的所有n的值；
（3）由a，b，c成等比數列，結合直角三角形中邊的關系求出，代入后整理，進一步得到，由此可證數列{ }中的任意連續三項為邊長均可以構成直角三角形，且X_n是正整數．
點評：本題以直角三角形邊的關系為載體，考查了等差數列的前n項和公式，考查了利用基本不等式求最值，考查了用裂項法求數列的和，訓練了利用二項展開式的二項式系數比較不等式的大小，此題綜合性強，難度較大．