Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的

3

倍，其上一點到右焦點的最短距離為

3

-

2

．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若直線l：y=kx+b與圓O：x2+y2=

3

4

相切，且交橢圓C于A、B兩點，求當△AOB的面積最大時直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)右焦點（c，0），則

a= 3 b  & &(1) a-c= 3 - 2 ，(2)

，由此能夠求出橢圓C的標準方程．
（2）由Q_y=kx+b與圓x2+y2=

3

4

相切，知b2=

3

4

(k2+1)．由

y=kx+b x2+3y2=3

消y得（1+3k²）x²+6kbx+3（b²-1）=0．再由根的判別式和根與系數的關系結合題設條件進行求解．

解答：解：（1）設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)右焦點（c，0）
則

a= 3 b  & &(1) a-c= 3 - 2 ，(2)

由（1）得a²=3b²代a²-b²=c²得c²=2b²
代（2）得

3

b-

2

b=

3

-

2

∴b=1，a=

3

∴C：

x2

3

+y2=1
（2）Q_y=kx+b與圓x2+y2=

3

4

相切
∴

|b|

k2+1

=

3

2

∴b2=

3

4

(k2+1)
由

y=kx+b x2+3y2=3

消y得（1+3k²）x²+6kbx+3（b²-1）=0
又△=12（3k²-b²+1）（3）
Qx1+x2=-

6kb

1+3k2

，x1•x2=

3(b2-1)

1+3k2

∴|AB|²=（1+k²）（x₁-x₂）²
=(1+k2)•[(-

6kb

1+3k2

)2-4•

3(b2-1)

1+3k2

]
=(1+k2)•

36k2b2-12(b2-1)(1+3k2)

(1+3k2)2

=(1+k2)•

-12b2+36k2+12

(1+3k2)2

=(1+k2)•

-12• 3 4 (k2+1)+36k2+12

(1+3k2)2

=

27k4+30k2+3

9k4+6k2+1

=3+

12k2

9k4+6k2+1

當k=0時，|AB|²=3，
當k≠0時，|AB|2=3+

12

9k2+ 1 k2 +6

≤3+

12

2 9k2• 1 k2 +6

=4
（當k=±

3

3

時“=”成立）
∴|AB|_max=2
∴(S△AOB)max=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

此時b²=1且（3）式△＞0
∴l：y=±

3

3

±1

點評：本題考查橢圓方程的求法和三角形面積最大值的計算，解題時要注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．