Question

函數
⑴求證：的圖像關于直線y=x對稱；
⑵函數的圖像與函數的圖像有且只有一個交點，求實數的值；
⑶是否存在圓心在原點的圓與函數的圖象有且只有三個交點，如果存在，則求出此圓的半徑；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）見解析（2）或（3）見解析

⑴解一：由可知函數圖像即為反比例函數的圖像經向右平移1個單位后再向上平移1個單位得到。則函數圖像關于直線y=x對稱…………………………………….….4’
解二：函數的反函數，所以的圖像關于直線y=x對稱………….4’
⑵由題意得有且只有一解。
時，由判別式等于0可得……………………………………3’
時，由圖像易得同樣滿足題意………………………..………………2’
所以……………………………………………..………..…1’
⑶解一：由函數圖像可得若存在滿足題意的圓，則圓與函數的圖像必在第一象限相切，即圓過（2，2）點，可得圓半徑為，所以存在滿足題意的圓，其半徑為……....4’
r =代回檢驗得滿足題目要求，所以存在滿足題意的圓，其半徑為 …..2’
解二：由⑴與圓的對稱性可得交點必關于直線y=x對稱         ……………...…..2’
如果有且僅有三個交點，則必有一個交點在直線y=x上，即這個交點就是函數y=與直線y=x的交點                     ……………………………………….……..…..2’
求得交點有兩個（0，0）、（2，2），其中（0，0）不滿足題意，而過（2，2）時圓的半徑為。r =代回檢驗得滿足題目要求，所以存在滿足題意的圓，其半徑為 
所以存在滿足題意的圓，其半徑為                            .…………..2’