Question

設f（x）是定義在實數集R上的奇函數，當x＞0時，f（x）=-x²+4x．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并解不等式f（x）≥x；
（Ⅱ）設g（x）=2^x-1+m，若對任意x₁∈[-1，4]，總存在x₂∈[2，5]，使f（x₁）=g（x₂），求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據函數奇偶性的性質即可求f（x）的解析式，并解不等式f（x）≥x；
（Ⅱ）根據指數函數的圖象和性質，結合方程根與函數之間的關系，建立條件關系，即可求實數m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當x=0時，f（x）=0；
當x＜0時，有-x＞0，
由f（x）=-f（-x）=-[-（-x）²+4（-x）]=x²+4x．
∴f（x）的解析式為f(x)=

-x2+4x，x≥0 x2+4x， x＜0.

，
當x≥0時，f（x）≥x為-x²+4x≥x，解得0≤x≤3；
當x＜0時，f（x）≥x為x²+4x≥x，解得x≤-3．
故不等式f（x）≥x的解集是{x|x≤-3或0≤x≤3}．
（Ⅱ）當-1≤x＜0時，f（x）=x²+4x=（x+2）²-4，
知f（x）∈[-3，0）；
當0≤x≤4時，f（x）=-x²+4x=-（x-2）²+4，
知f（x）∈[0，4]，
∴當x₁∈[-1，4]時，f（x₁）∈[-3，4]．
∵g（x）=2^x-1+m是R上的增函數，
∴當x₂∈[2，5]時，g（x₂）∈[2+m，16+m]，
∵對任意x₁∈[-1，4]，總存在x₂∈[2，5]使f（x₁）=g（x₂），
∴[-3，4]⊆[2+m，16+m]，
則

2+m≤-3 16+m≥4

，解得-12≤m≤-5，
故實數m的取值范圍是[-12，-5]．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用，以及函數與方程之間的關系，利用函數的奇偶性將變量進行轉化是解決本題的關鍵．