Question

(本小題滿分14分) 設函數.
（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）當時，若函數在上是增函數，求的取值范圍；
（Ⅲ）若，不等式對任意恒成立，求整數的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ） ，整數的最大值為3 .

（1）當時，由導數的幾何意義求出
寫出切線方程；
（2）當，函數在上是增函數，只需在 上恒成立，可利用二次函數的性質直接求在上最小
值大于或等于0，關鍵是討論對稱軸與區間的關系；也可以分離參數求最值；
（3）當，易得函數在上遞增，要證，只需證，構造，研究單調性求其最小值，只需。
的最大值為3 .
解：（Ⅰ）當時， 所以 即切點為 
因為所以  
所以切線方程為  即
（Ⅱ）y=f(x)在[－1，1]上單調遞增，又 
方法一：（求函數的最值，即二次函數的動軸定區間最值）依題意在[－1，1]上恒有≥0，即 
①當；所以舍去；
②當； 所以舍去；
③當 
綜上所述，參數a的取值范圍是。
方法二：（分離參數法）
（Ⅲ）
由于，所以
所以函數在上遞增
所以不等式對恒成立
構造       
構造     
對 ， 所以在遞增

所以,
所以,所以在遞減
,所以在遞增
所以,結合得到
 
所以對恒成立， 所以 ，整數的最大值為3