Question

已知點P是拋物線y²=4x上的動點，點P在y軸上射影是M，點A（4，6），則|PA|+|PM|的最小值是

 

．

Answer 1

分析：延長PM交拋物線y²=4x的準線x=-1于P′，設焦點為F，利用拋物線的定義可知，|PP′|=|PF|，從而可知，當A、P、F三點共線時，|PA|+|PF|-|MP′|最小，易求|PA|+|PM|的最小值為3

5

-1．

解答：解：延長PM交拋物線y²=4x的準線x=-1于P′，焦點F（1，0），

則|PP′|=|PF|，
∴要使|PA|+|PM|最小，就是使|PA|+|PP′|-|MP′|最小，也就是使得|PA|+|PF|-|MP′|最小，
顯然，當A、P、F三點共線時，|PA|+|PF|-|MP′|最小，
最小值為|AF|-|MP′|=

(4-1)2+(6-0)2

-|MP′|=3

5

-1，
∴|PA|+|PM|的最小值為：3

5

-1．
故答案為：3

5

-1．

點評：本題考查拋物線的簡單性質，考查轉化思想與運算能力，考查作圖、與用圖能力，屬于中檔題．