Question

定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2的奇函數(shù), 且當(dāng)x∈(0, 1)時(shí), f (x)＝.

（1）求f (x)在[－1, 1]上的解析式;  

（2）證明f (x)在(—1, 0)上時(shí)減函數(shù);

（3）當(dāng)λ取何值時(shí), 不等式f (x)＞λ在R上有解?

 

Answer 1

【答案】

（1） f(x)=. （2）用定義或?qū)��?shù)法均可證明；（3）λ＜ 

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)x∈(-1, 0)時(shí), - x∈(0, 1).∴由題意可得f(-x)=.

又f(x)是奇函數(shù),∴f(x)=" -" f (-x) =-.    2分

∵f(-0)= -f(0),  ∴f(0)=" 0."    3分

又f(x)是最小正周期為2的函數(shù),∴對(duì)任意的x有f(x+2)= f(x).

∴f(-1)=" f(-1+2)=" f(1). 另一面f(-1)="-" f (1), ∴- f(1)=" f(1)" . ∴f(1) = f(-1)=0.  5分

∴f(x)在[-1, 1]上的解析式為 f(x)=.    6分

（2）f (x)在(—1, 0)上時(shí)的解析式為，∵，∴，又-1<x<0，∴，∴，∴，∴f (x)在(—1, 0)上時(shí)減函數(shù)   10分

（3）不等式f(x)＞λ在R上有解的λ的取值范圍就是λ小于f(x)在R上的最大值.…12分

由（2）結(jié)論可得，當(dāng)x∈(-1, 0)時(shí)，有-< f(x)= -< -；

又f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x∈(0, 1)時(shí)，有< f(x)＝<；

∴f(x)在[-1, 1]上的值域是(-, -)∪｛0｝∪(, ).  14分

由f(x)的周期是2；故f(x)在R上的值域是(-, -)∪｛0｝∪(, )  15分

∴λ＜時(shí)，不等式f(x)＞λ在R上有解.    16分

考點(diǎn)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)

點(diǎn)評(píng)：利用奇偶性求函數(shù)解析式問(wèn)題要注意：（1）在哪個(gè)區(qū)間求解析式，就設(shè)在哪個(gè)區(qū)間里；（2）轉(zhuǎn)化為已知的解析式進(jìn)行代入；（3）利用的奇偶性把寫(xiě)成或，從而求出．