Question

（本小題滿分14分）設函數。
（1）若在處取得極值，求的值；
（2）若在定義域內為增函數，求的取值范圍；
（3）設，當時，
求證：① 在其定義域內恒成立；
求證：② 。

Answer 1

（1）。（2）。經檢驗適合。（3）見解析。

本題以函數為載體．主要考查了了利用導數研究函數的極值，以及利用導數研究函數的單調性和不等式的證明，屬于中檔題
（1）先求函數的導函數，根據若x= 時，f（x）取得極值得f′（ ）=0，解之即可；
（2）f（x）在其定義域內為增函數可轉化成只需在（0，+∞）內有2x²+ax+1≥0恒成立，建立不等關系，解之即可；
(3) ，當時，，，
∴ 在處取得極大值，也是最大值, ，∴，∴放縮法得到結論。
解：（1），…………………………1分
∵在處取得極值，∴，即。經檢驗適合。…………3分
（2）在定義域為，…………………………4分
要在定義域內為增函數，則在上恒成立。
∴，………………………5分
而，∴。經檢驗適合。…………………………6分
（3）①，當時，，，
∴…………………………7分
在處取得極大值，也是最大值。
而，∴，在上恒成立，
因此，∴。………………………9分
②，∴，∴………………………10分
∴ 
 …………………………11分
…………………………12分
=
= = ………………………14分