Question

在下列給出的函數中，以π為周期且在(0，

π

2

)內是增函數的是（　　）

• A、y=sin

  x

  2

• B、y=cos2x
• C、y=sin(2x+

  π

  4

  )
• D、y=tan(x-

  π

  4

  )

Answer 1

分析：利用三角函數的周期性，對A、B、C、D逐一判斷即可．

解答：解：A：∵y=sin

x

2

的周期為T=

2π

1 2

=4π，故可排除A；
B：∵y=cos2x在（0，

π

2

）上是減函數，故可排除B；
C：對于y=sin（2x+

π

4

），
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得：kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z），
∴y=sin（2x+

π

4

）的遞增區間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z），
當k=0時，[-

3π

8

，

π

8

]為其一個單調遞增區間，同理可知，[

π

8

，

5π

8

]為其一個遞減區間，故C錯誤；
D：y=tan（x-π），其周期T=π，由kπ-

π

2

＜x-π＜kπ+

π

2

（k∈Z）⇒（k+1）π-

π

2

＜x＜（k+1）π+

π

2

（k∈Z），
當k=-1時，（-

π

2

，

π

2

）為y=tan（x-π）的一個單調遞增區間，
而（0，

π

2

）?（-

π

2

，

π

2

），故D正確．
故選：D．

點評：本題考查三角函數的周期性與單調性，屬于中檔題．